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www.m5219.cn 把高中数列进阶知识点网罗殆尽 2020-10-26 17:32:22

穷尽网罗是不可能的! 不能穷尽一生!

为了这篇文章,我没有时间写圆曲几何学。

前言:

本论文不是降维打击类武器(至少我认为),只是以高中生的观点写的,关于高中数列不能说全部总结,但八九也不离开! 数列小题云诡波谲,主要是靠自己的功夫灵活应对。 这次主要讨论从数列大问题最简单的内容到最难的内容。 目的是帮助很多高中朋友熟悉题型道路。 使用的知识都是高中学到的东西(只有不动点的一部分是超纲),或者是利用高中的知识导出的东西(体现数学思想)。 请放心。 本人毕业了,刷的好问题几乎忘了。 只能拿几个基础问题来谈谈。 但是,2019年的国家一卷和概率结合后,最近有和导数结婚的嫌疑! 数列这个男人什么时候又遇到圆锥曲线,看着解决一点问题,那很开心! 本文是超万字,我要破裂肝脏一周的心血,如果能帮助你们,我很荣幸!

以下主要谈谈题型比较固定的数列大问题的一般情况。 八个单词:真简单! 难真的很难!

高中数列一般是第一个大问题(可能是三角),现在的数列大问题正常不难,但思路不明确的话会陷入困境,战败的话会考虑对心灵的打击! 所以第一个大问题很重要! 所以接下来谈谈数列的知识点。

首先,数列的问题是两个问题(个别为三个问题),一般求出第一个问题通项、第二个问题合计和收缩(或单独收缩),但并不是自古以来就没有变化。 毕竟,这是看问题者的脑洞,以下主要说一般的事情。

目录:

1 :求通项

1 .累积、累积和因子分解

2 .取对数,取倒数

3 .台阶法(SA型,即[公式]

)中被调用,将出现故障

4 .无限递归数列

5 .数学归纳法

6 .未定系数法、结构法

7 .等和等积数列(等差等比升级版)

8 .特征根方程,不动点(不动点部分内容超纲)

9 .其他(与其他知识点结合或比较简单的分配题)

2 :合计和不等式的缩小

1 .逆序加法

2 .位置偏移减法(速算式)

3 .阶段性合计

4 .组合计(差比合计和奇偶合计)

5 .并项加法

6 .数学归纳法

7 .裂项和收缩(合计的本质)

三:关于数列的闲谈(主要帮助想提高数学能力的同学)

1 .一些数列不等式常用不等式(如果能导出就不是超纲)

2 .数列与函数的内在联系

3 .几个点列问题

4.………

(第三点有时间就补充吧)

一:求通项

第一问通项的方法大致如下。

1 .累积、累积和因子分解

2 .取对数,取倒数

3 .台阶法(SA型,即[公式]

)中被调用,将出现故障

4 .无限递归数列

5 .数学归纳法

6 .未定系数法、结构法

7 .等和等积数列

8 .特征根方程,不动点

9 .其他(与其他知识点结合或比较简单的分配题)

前四点很简单,这次主要看后面的东西。

1.累加,累乘,因式分解

累积加法

累积法相信大家都很清楚。 通式: [公式]

关于右边公式的总和,常见的有几种情况。

1 .等差或等比数列加法、组加法(加法式)

2 .位置偏移减法加法(加法式)

3 .前n项和,前n项平方和,前n项立方和(合计式)

4 .裂项消除(裂项方法)

例如: (1) [公式]

(2) [公式]

(3) [公式]

(4) [公式]

累乘法

类似于累积加法: [公式]

例如: (1) [公式]

(2) [公式]

(3) [公式]

因子分解

还只是简单的题型,一般是正数,说明不难。

取对数

虽然很少取对数,但是也有一些模拟问题一定会被卷起来。

通式: [公式]

(一般默认的正项数列)

例如,如下所示。

(1). [公式]

(2). [公式]

(3). [公式]

两边取适当的对数,转换成普通的形式,相加。

取倒数

取倒数出现在分式数列中,但一般来说分子分母是不均匀的。

通式为: [公式]

直接取倒数就行了。 题型是单一的。

例如: (1) [公式]

(2) [公式]

3 .台阶法(SA型,即[公式]

我们把[公式]

这样的转换被称为级差法,这是非常常见的吧!

如果有两个元素,则将无用的元素转换为有用的元素。

举例来说,(1) [公式]

(2) [公式]

(3) [公式]

2.取对数,取倒数

少见,比较简单,形式单一,四肖期期必出特方法为n=n 1,得到一套,减去二式。

但是,有时是特殊的,所以也可以用合计式巧妙地求解。

例如: (1) [公式]

(2) [公式]

(3) [公式]

4.无穷递推数列

数学归纳法很好用,你走投无路的时候,它总是拉着你,但考试的数量少,自然用的也少,不难过。

[公式]

[公式]

5.数学归纳法

通常,结构法与未定系数法一起使用,适用于类似[公式]

的表达式([公式] )

时多用途累计法),其中[公式]

也可以是常数、一次函数、二次函数、指数函数等。

[公式]

想法很简单,通过制作新的数列,求出新的数列的通项,求出目标数列的通项。

例如,如下所示。

[公式]

关于其未定系数结构数列,得到[公式]

(这里并用了结构法和未定系数法)

对应系数可以是p=2(未定系数法的结果)。

因此得到了新的等比数列[公式]

([公式]

是结构法的结果)

[公式]

对于其未定系数结构数列,得到[公式]

对应系数: [公式]

(其中g(n )与f(n )形式一致)

例如: [公式]

[公式]

(1)结构法:同时除法[公式]

: [公式]

(2)累计法:同时除法[公式]

[公式]

(三)未定系数法: [公式]

需要注意的是本[公式]

时,未定系数法无效!

仅限举高[公式]

指数函数的例子。 [公式]

与二次函数一样,结构形式一致,采用未定系数法。

什么是

6.构造法与待定系数法

等积数列? 顾名思义,和积是恒定值,与等差、等比相似。

[公式]

的公式,本[公式]

常数时为等和数列

[公式]

的公式,本[公式]

常数时为等积数列

有什么用呢?

让我们看看例子: [公式]

[公式]

可用: [公式]

二式减法: [公式]

同样,等积数列[公式]

满意: [公式]

[公式]

以下:

可用: [公式]

二式除法: [公式]

以上两个数列都是间隔项相等的摆动数列

其实和等差之积相似,所以当[公式]

如果不是常数,是什么情况?

[公式]

[公式]

[公式]

可用: [公式]

二式减法: [公式]

这就成了隔项成等差数列! 此时的数列[公式]

称为类等和数列(其实和等差数列一模一样)。

[公式]

[公式]

[公式]

可用: [公式]

二式减法: [公式]

来到这里,你注意到仪式很熟悉吗? 其实是上述结构法,只不过是[公式]

时的特殊情况,应该用累积法,但必须分类。

n为奇数时,累加后: [公式]

御龙( [公式]

求奇数就求偶数。 这里有两种想法。

1 .按图勉强计算

2 .使用条件: [公式]

让我们看看第二种想法。 当n是偶数时,n-1是奇数。

御龙( [公式]

整理: [公式]

这样就有了答案:

[公式]

,如果有点[公式]

使用[公式]

称为[公式]

因为是这数列的不动点,当然也有可能不存在(或者是多个)。

假设[公式]

、则[公式]

从数学归纳法中可以得到:当[公式]

在某些情况下[公式]

无法取得值[公式]

然后收敛到[公式]

[公式]

代入递归公式: [公式]

属性。

什么不重要,怎么用很重要! 其实很简单。

[公式]

1 .关于线性递归数列: [公式]

命令[公式]

即: [公式]

解不开的点: [公式]

在这种情况下:

1 .本[公式]

时,不动点不存在,数列[公式]

是等差数列

2 .本[公式]

时,存在不动点,数列[公式]

是等差数列

到这里可能会有人注意到,这不是未定系数法吗? 什么?什么?

确实,你可以把它们看成一样!

未定系数是通法,不动点是辅助法,一般先写模板,再在草稿纸上使用不动点,节约时间。

2 .关于分式递归数列: [公式]

在这种情况下:

1 .如果有两个相等的不动点,则为数列[公式]

是等差数列

2 .如果有两个不同的不动点,数列[公式]

等比数列

3 .不存在不动点(复数),数列[公式]

是周期数列

[公式]

2. [公式]

3. [公式]

进而特征根方程式

是的。 那个2019国一卷的概率压轴问题。 考试的是这个!

二阶线性递归数列是高中数列正常问题中的难题,而特征根方程是解决这个问题的好方法,四肖期期必出特斐波那契数列就是一个很好的例子。

关于二次线性递归数列: [公式]

方程式[公式]

这一数列的特征根方程式,方程式的根称为这一数列的特征根。

解二次线性递归数列其实也是未定系数的思想,通法如下。

关于[公式]

假设存在[公式]

让: [公式]

(1)

即: [公式]

御龙( [公式]

是该数列特征根方程的两个根,即特征根

同样: [公式]

(2)

联合(1)(2),删除[公式]

剩下的一阶线性递推公式求解数列通项。

如何很好地利用特色根呢? 非常简单!

首先解特征根s,t

[公式]

有: [公式]

[公式]

有: [公式]

其中[公式]

可以由问题给出的前两个联立方程求出。

那么有名的斐波那契数列: [公式]

容易得到:

[公式]

(2) .隔项数列: [公式]

(1): [公式]

二式减法: [公式]

结构数列: [公式]

御龙( [公式]

[公式]

进一步求解[公式]

(2): [公式]

命令: [公式]

即: [公式]

重新解决

8.特征根方程,不动点

其他难以分类的主题不容易。

比如这个送货问题:

比如发送与这个三角结合的命题

[公式]

2.倒序相加

通常数列项有正负,分别加上绝对值进行加法运算的主要想法是逐步去除绝对值。

举个简单的例子,我们知道等差数列的前n项是抛物线上的横轴是正整数的点。

例如[公式]

,共计[公式]

典型的阶段性合计,有点简陋,但基本的路是换汤不换药。

[公式]

3.分段求和

这很重要,请好好说话。

通常,在数列的通项不是简单的等差或等比,而是包含其他奇怪的公式的情况下,直接相加是困难的,在这种情况下,通过适当地对数列的通项进行分组,将不能直接相加的数列分解为几个可相加的数列,并相加各自的组。

分组相加主要包括差分组、奇偶校验分组和其他分组、以下任意一个。

1 .差比组加法

关于数列: [公式]

,直接合计是不可能的。 你必须先分组。

[公式]

这样分成两组,把两组分别加起来。

差比组一般多为等差等比,比较简单。

[公式]

用等式调节奇数项的符号,以达到妨碍你总和的目的。 因此,解决问题时要冷静分析,冷静应对,避免打乱自己的脚。

注意:

分奇偶项合计时,请注意项数! 项数! 不要! 项数! 不要! 不要! 请注意奇数项、偶数项和公式三者的关系。 可以取得更多的成果! 不要! 不要! 多练习总结!

例如简单的东西: [公式]

合计